Además de activar la función Habilitar notificaciones de correo nuevo en la Configuración de Gmail o GSuite.

Puedes recibir notificaciones de nuevo correo de otra forma si tienes Windows 10. En Configuración / Sistema /Notificaciones y acciones:

Tienes las opciones para usar las Notificaciones de Windows y no perderte ningún email nuevo, aunque no estés en la ventana de Chrome.

Notificación con sonido

Si usar Chrome como cliente de email, en el icono de los tres puntos (Personaliza y controla Google Chrome) en Configuración / Configuración avanzada / Configuración del sitio web / Ver permisos y datos almacenados…

Seleccionas Google o mail.google.com y, ahí puedes activar Sonidos.